Задаци: Елементарне статистике¶

Алгоритми и програми у програмском језику C: Елементарне статистике.

Факторијел¶

За одређивање факторијела природног броја $n$ користимо променљиву faktorijel у којој редом акумулирамо производ бројева од 1 до $n$ .

На почетку вредност променљиве faktorijel поставимо на 1. Након тога, коришћењем петље у којој ћемо бројачкој променљивој $i$ , додељивати редом вредности од 1 до $n$ , у сваком пролазу кроз петљу променљиву faktorijel множити са $i$ .

Предложено решење задатка

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int n, f = 1;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        f *= i;
    printf("%d", f);
    return 0;
}

Степен¶

Прочитај текст задатка.

Резултат можемо добити ако израчунамо производ $\underset{n}{\underset{⏟}{x \cdot \dots \cdot x}}$ . Производ серије итеративно можемо израчунати тако што вредност производа иницијализујемо на јединицу, а затим га у сваком кораку петље множимо са наредним елементом серије (у овом случају вредношћу $x$ ).

Предложено решење задатка (1)

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>

int main(void)
{
    double x;
    int n, f = 1;
    scanf("%lf%d", &x, &n);
    double s = 1.0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        s *= x;
    printf("%.5lf", s);
    return 0;
}

Већина језика већ пружа готову функцију или операцију степеновања. У језику C степеновање реалних бројева се врши функцијом pow, декларисаној у заглављу math.h.

Предложено решење задатка (2)

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(void)
{
    double x;
    int n, f = 1;
    scanf("%lf%d", &x, &n);    
    printf("%.5lf", pow(x, n));
    return 0;
}

Просек свих бројева до краја улаза¶

Прочитај текст задатка.

Као што смо већ видели, рачунање просека серије бројева своди се на засебно израчунавање збира и броја елемената серије и њихово дељење (ако су и збир и број цели бројеви, пре дељења је потребно конвертовати их у реални тип).

Видели смо и да се збир серије бројева израчунава тако што се променљива у којој се акумулира збир иницијализује на нулу, а затим се у петљи пролази кроз елементе серије и збир се увећава за текући елемент.

Видели смо и да се број елемената серије одређује тако што се бројачка променљива у којој се тај број акумулира иницијализује на нулу, а затим се у петљи пролази кроз елементе серије и бројач се у сваком кораку увећава за један.

Показано је и како се може организовати петља која учитава све бројеве са стандардног улаза.

Предложено решење задатка

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int z = 0, i = 0, n;
    while (scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        z += n;
        i++;
    }
    double p = (double)z / (double)i;
    printf("%.5lf", p);
    return 0;
}

Средине¶

Прочитај текст задатка.

Просечна брзина представља однос укупног пређеног пута и укупног времена трајања пута.

Претпоставимо да је сваки део пута трајао исто време $t$ (у сатима). Тада је на првом делу пута аутомобил прешао $v_{1} \cdot t$ километара, на другом $v_{2} \cdot t$ километара, и тако даље, док је на последњем делу прешао $v_{n} \cdot t$ километара. Дакле, укупан пређени пут је $(v_{1} + v_{2} + \dots + v_{n}) \cdot t$ километара. Укупно време је $n \cdot t$ сати. Зато је просечна брзина једнака $\frac{(v_{1} + v_{2} + \dots + v_{n}) \cdot t}{n \cdot t} = \frac{v_{1} + v_{2} + \dots + v_{n}}{n}$ .

Претпоставимо сада да је на сваком делу пута аутомобил прешао исто растојање $s$ (у километрима). Тада се на првом делу пута кретао $\frac{s}{v_{1}}$ сати, на другом $\frac{s}{v_{2}}$ сати и тако даље, све до последњег дела где се кретао $\frac{s}{v_{n}}$ сати. Дакле, укупни пређени пут је $n \cdot s$ , док је укупно време једнако $\frac{s}{v_{1}} + \frac{s}{v_{2}} + \dots + \frac{s}{v_{n}}$ . Дакле, просечна брзина једнака је $\frac{s \cdot n}{\frac{s}{v_{1}} + \frac{s}{v_{2}} + \dots + \frac{s}{v_{n}}} = \frac{n}{\frac{1}{v_{1}} + \frac{1}{v_{2}} + \dots + \frac{1}{v_{n}}}$ .

Приметимо да се у првом случају просечна брзина израчунава као аритметичка средина појединачних брзина, док се у другом случају израчунава као хармонијска средина појединачних брзина.

Израчунавање аритметичке средине (просечне вредности) свих бројева учитаних са стандардног улаза приказали смо раније. У овом случају радимо са реалним бројевима, па је имплементација још једноставнија јер не морамо да водимо рачуна о конверзији типова. Што се тиче израчунавања хармонијске средине, она се може израчунати тако што се израчуна збир реципрочних вредности свих брзина, а затим се $n$ подели тим бројем. Збир реципрочних вредности се рачуна тако што се на променљиву коју иницијализујемо на нулу у петљи додају једна по једна реципрочна вредност.

Предложено решење задатка

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int i = 0;
    double x, z = 0.0, zr = 0.0;
    while (scanf("%lf", &x) != EOF)
    {
        i++;
        z += x;
        zr += 1.0 / x;
    }
    double as = z / i;
    double hs = i / zr;
    printf("%.2lf\n%.2lf", as, hs);
    return 0;
}

Просечан раст цена¶

Прочитај текст задатка.

Претпоставимо да је основна цена производа $C$ . Тада је цена након првог месеца једнака $C \cdot (1 + \frac{p_{1}}{100})$ , након два месеца једнака $C \cdot (1 + \frac{p_{1}}{100}) \cdot (1 + \frac{p_{2}}{100})$ и тако даље, да би на крају $n$ месеци била једнака $C \cdot (1 + \frac{p_{1}}{100}) (1 + \frac{p_{2}}{100}) \cdot \dots \cdot (1 + \frac{p_{n}}{100})$ . Ако би пораст цене у сваком месецу било $p$ тада би цена након $n$ месеци била једнака $C \cdot (1 + \frac{p}{100})^{n}$ . Пошто желимо да овако израчунате коначне цене буду једнаке, тј. да важи $C \cdot (1 + \frac{p_{1}}{100}) \cdot \dots \cdot (1 + \frac{p_{n}}{100}) = C \cdot (1 + \frac{p}{100})^{n}$ , $p$ се може израчунати као $p = 100 \cdot (\sqrt[n]{(1 + \frac{p_{1}}{100}) \cdot \dots \cdot (1 + \frac{p_{n}}{100})} - 1)$ .

$n$ -ти корен из производа $n$ бројева назива се геометријска средина.

Производ серије можемо израчунати алгоритмом у коме резултат иницијализујемо на 1 и множимо га редом једним по једним кофицијентом повећања $1 + \frac{p}{100}$ .

Корен можемо израчунати свођењем на степеновање $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$ и применом функције pow

Предложено решење задатка

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(void)
{
    int n;
    double x, p = 1.0;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%lf", &x);
        p *= (1.0 + x / 100.0);
    }
    double pp = 100.0 * (pow(p, 1.0 / n) - 1.0);
    printf("%.2lf", pp);
    return 0;
}

Производња малина¶

Прочитај текст задатка.

Производња сваког месеца чини геометриски низ тј. геометријску прогресију (низ бројева у коме је количник сваког члана и њему претходног константан) и у овом задатку потребно је одредити његов $n$ -ти члан.

Маринко прве године планира да произведе $t$ тона малина. Друге године планира за $p %$ више тона него прве године. Значи друге године планира да произведе $t \cdot (1 + \frac{p}{100})$ тона. Слично, треће године за $p %$ више тона него друге године, односно $t \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p}{100})$ што износи $t \cdot (1 + \frac{p}{100})^{2}$ тона. Закључујемо да за последњу годину, $n$ -тy годину, планира производњу $t \cdot (1 + \frac{p}{100})^{n - 1}$ тона.

У језику C степен броја се може израчунати функцијом pow декларисаном у заглављу math.h.

Предложено решење задатка (1)

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(void)
{
    int n;
    double t, p;
    scanf("%d%lf%lf", &n, &t, &p);
    double x = t * pow(1 + p / 100, n - 1); 
    printf("%.2lf", x);
    return 0;
}

Задатак може бити решен и уз помоћ петље у којој се производ иницијализује на вредност $t$ и у сваком од $n$ корака се множи са $1 + \frac{p}{100}$ (израчунава се производ серије), али тиме би се добило ружније и неефикасније решење.

Предложено решење задатка (2)

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int n;
    double t, p;
    scanf("%d%lf%lf", &n, &t, &p);
    double x = t;
    for (int i = 1; i < n; i++)
        x = x * (1 + p / 100);
    printf("%.2lf", x);
    return 0;
}

Сума низа бројева¶

Прочитај текст задатка.

Обележимо са $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ бројеве које треба да саберемо. Oни представљају геометријски низ (у коме је количник свака два суседна броја исти) и тражена вредност је сума првих $n$ чланова тог низа.

Једноставном анализом можемо закључити да је $a_{i} = a \cdot q^{i - 1}$ за $1 \leq i \leq n$ . Задатак је одредити суму $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n - 1} + a_{n}$ . Обележимо тражену суму са $S$ . Применом формуле за $a_{i}$ добијамо да је

S = a + a \cdot q^{1} + a \cdot q^{2} + \dots + a \cdot q^{n - 2} + a \cdot q^{n - 1}

Ако леву и десну страну претходне једнакости помножимо са $1 - q$ (напоменимо $1 - q \neq 0$ ) добијамо једнакост:

S \cdot (1 - q) = a \cdot (1 - q) + a \cdot q \cdot (1 - q) + a \cdot q^{2} \cdot (1 - q) + \dots + a \cdot q^{n - 2} \cdot (1 - q) + a \cdot q^{n - 1} \cdot (1 - q)

Извршимо множења на десној страни једнакости:

S \cdot (1 - q) = a - a \cdot q + a \cdot q - a \cdot q^{2} + a \cdot q^{2} - a \cdot q^{3} + \dots + a \cdot q^{n - 2} - a \cdot q^{n - 1} + a \cdot q^{n - 1} - a \cdot q^{n}

Сређивањем последњег израза добијамо $S \cdot (1 - q) = a - a \cdot q^{n}$ . Према томе

S = a \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}

У језику C степен броја се може израчунати функцијом pow декларисаном у заглављу math.h.

Предложено решење задатка (1)

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(void)
{
    int n;
    double a, q;
    scanf("%d%lf%lf", &n, &a, &q);
    double s = a * (1 - pow(q, n)) / (1 - q);
    printf("%.5lf", s);
    return 0;
}

Рецимо и да је збир било могуће одредити и тако што бисмо употребили алгоритам сабирања елемената серије коришћењем петље, при чему бисмо сваки наредни елемент могли инкрементално израчунати од претходног множењем са $q$ .

Предложено решење задатка (2)

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int n;
    double a, q;
    scanf("%d%lf%lf", &n, &a, &q);
    double x = a;
    double s = a;
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        x *= q;
        s += x;
    }
    printf("%.5lf", s);
    return 0;
}

Једнакост растојања¶

Прочитај текст задатка.

Тражена тачка је аритметичка средина унетих тачака.

Докажимо претходно тврђење. Ако са $x$ означимо тражену тачку тада, за низ тачака $x_{i}$ , $i = 1, \dots, n$ , важи:

\sum_{\binom{i = 1}{x_{i} \leq x}}^{n} (x - x_{i}) = \sum_{\binom{i = 1}{x_{i} > x}}^{n} (x_{i} - x)

Ако се израз са десне стране пребаци на леву и када знак $-$ уђе у другу суму добија се:

\sum_{\binom{i = 1}{x_{i} \leq x}}^{n} (x - x_{i}) + \sum_{\binom{i = 1}{x_{i} > x}}^{n} (x - x_{i}) = 0

што је еквивалентно са

\sum_{i = 1}^{n} (x - x_{i}) = 0

Одавде се добија:

\sum_{i = 1}^{n} x = n \cdot x = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}

Према томе, тражена тачка је аритметичка средина унетих тачака:

x = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}}{n}

Израчунавање аритметичке средине серије бројева већ смо разматрали раније. Потребно је израчунати збир елемената серије и затим га поделити са бројем елемената серије (који је у овом случају унапред познат).

Предложено решење задатка

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    double s = 0, x;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%lf", &x);
        s += x;
    }
    printf("%.5lf", s / n);
    return 0;
}

Тежиште¶

Прочитај текст задатка.

Већ смо разматрали тежиште скупа тачака на правој које је одређено као просечна вредност координата тачака. Исто ће се догодити и код тачака у равни. Заиста, обележимо тежиште са $T$ , а тачке са $A_{1}, \dots, A_{n}$ , a са $\vec{O T} = (T_{x}, T_{y})$ , $\vec{O A_{1}} = (A_{1 x}, A_{1 y})$ , …, $\vec{O A_{n}} = (A_{n x}, A_{n y})$ векторе њихових координата. Кренимо од услова да је $\vec{A_{1} T} + \dots + \vec{A_{n} T} = \vec{0}$ . У последњој једнакости додамо на обе стране $\vec{O A_{1}} + \vec{O A_{2}} + \dots + \vec{O A_{n}}$ и добијамо $n \cdot \vec{O T} = \vec{O A_{1}} + \vec{O A_{2}} + \dots + \vec{O A_{n}}$ , односно $\vec{O T} = \frac{\vec{O A_{1}} + \vec{O A_{2}} + \dots + \vec{O A_{n}}}{n}$ .

Одатле следи:

T_{x} = \frac{A_{1 x} + A_{2 x} + \dots + A_{n x}}{n}

T_{y} = \frac{A_{1 y} + A_{2 y} + \dots + A_{n y}}{n}

Задатак се решава једноставним израчунавањем аритметичких средина координата $x$ и координата $y$ датих тачака.

Предложено решење задатка

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    double zx = 0.0, zy = 0.0, x, y;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%lf%lf", &x, &y);
        zx += x;
        zy += y;
    }
    double tx = zx / n;
    double ty = zy / n;
    printf("%.5lf\n%.5lf", tx, ty);
    return 0;
}